第89章 白发魔的特权（2/2）

柯西不等式表明，对于任意的实数 \\( x_1, x_2, \\ldots, x_n \\) 和 \\( y_1, y_2, \\ldots, y_n \\)，我们有

\\[ (x_1^2 + x_2^2 + \\cdots + x_n^2)(y_1^2 + y_2^2 + \\cdots + y_n^2) \\geq (x_1y_1 + x_2y_2 + \\cdots + x_ny_n)^2 \\]

2. 选择合适的 \\( x_i \\) 和 \\( y_i \\)：

用\\( x_i \\) 和 \\( y_i \\) 来表示 \\( a, b, c \\) 和 \\( \\frac{1}{a}, \\frac{1}{b}, \\frac{1}{c} \\)。我们可以令

\\[x_1 = \\sqrt{a}, \\quad x_2 = \\sqrt{b}, \\quad x_3 = \\sqrt{c}, \\quad y_1 = \\sqrt{a}, \\quad y_2 = \\sqrt{b}, \\quad y_3 = \\sqrt{c} \\]

3. 应用柯西不等式：

根据柯西不等式，我们有

\\[ (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) = (x_1^2 + x_2^2 + x_3^2)(y_1^2 + y_2^2 + y_3^2) \\geq (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 \\]

4. 简化右边的表达式：

将 \\( x_i \\) 和 \\( y_i \\) 的值代入，我们得到

\\[ (x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3)^2 = (\\sqrt{a}\\sqrt{a} + \\sqrt{b}\\sqrt{b} + \\sqrt{c}\\sqrt{c})^2 = (a + b + c)^2 \\]

5. 得出结论：

因此，我们有

\\[ (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) \\geq (a + b + c)^2 \\]

6. 使用算术平均数-几何平均数不等式（Am-Gm 不等式）：

根据 Am-Gm 不等式，对于任何非负实数 \\( x \\) 和 \\( y \\)，有

\\[ \\frac{x + y}{2} \\geq \\sqrt{xy} \\]

等号成立当且仅当 \\( x = y \\)。

7. 应用 Am-Gm 不等式：

将 \\( a + b + c \\) 看作是三个数的和，应用 Am-Gm 不等式，我们有

\\[ \\frac{(a + b + c)}{3} \\geq \\sqrt[3]{abc}\\]

8. 得出结论：

因此，我们有

\\[ (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) \\geq 3\\sqrt[3]{abc} \\cdot 3\\sqrt[3]{\\frac{1}{abc}} = 9 \\]

综上所述，我们证明了 \\( (a + b + c)(\\frac{1}{a} + \\frac{1}{b} + \\frac{1}{c}) \\＝9 \\)。

徐武放下粉笔，向白发魔点点头，直接回到下面第一排的位置上坐下了。

“呵呵呵，徐武同学很不错，刚才我说的随时生效，你可以选择来与不来都可以。”白发魔发出特有的笑声说道，让大家都明白徐武做对了，但这种情况每次都会发生，大家都习惯了，不像之前一样喧哗出声，只是为徐武的才华感到惊艳罢了。

“接下来我们继续上课，大家打开课本，翻到上一次讲到的内容，今天我们接着继续学习。”白发魔的话音让大家的注意力回到课本上，很有节奏的讲起了内容。

后面的课就是平平淡淡了，除了外语课上欧阳娜娜的一场问答，其他的课程都是老样子。徐武感到很无聊，灵识又回到自己身体内部查看了起来，希望早点弄清楚自己的身体情况。

只是事与愿违，一直到今天结束，徐武也没找到任何信息，只得作罢了。